Matemáticas IV

domingo, 7 de abril de 2013

REGLA DE CORRESPONDENCIA

Regla de Correspondencia

Una correspondencia unívoca es una correspondencia matemática donde cada elemento del conjunto dominio se corresponde con solo un elemento del conjunto rango.

Una Correspondencia Biunívoca es simplemente una correspondencia univoca cuya correspondencia inversa también es unívoca. Es decir: cada elemento del primer conjunto se corresponde con solo un elemento del segundo conjunto, y cada elemento del segundo conjunto se corresponde con solo un elemento del primer conjunto.

CONJUNTO IMÁGEN

En matemáticas, la imagen (conocida también como campo de valores o rango) de una función $f \colon X \to Y \,$ es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función. Se puede denotar como $\rm{im}(f)\,$ , $\operatorname{Im}_f\,$ o bien $I_f\,$ y formalmente está definida por:

$\operatorname{Im}_f := \left\{y \in Y \; | \; \exists x \in X, \; f(x)=y\right\}$

Adicionalmente, es posible hablar de la imagen de un elemento (del dominio) para hacer referencia al valor que le corresponde bajo la función. Esto es, si $f:A\to B$ es una función, entonces la imagen del elemento $a\in A$ es el elemento $f(a)\in B$ .

Diferencia con el contradominio

Es importante diferenciar el concepto de contradominio del concepto de conjunto imagen.

Si $f : X\to Y$ es una función, al conjunto Y de valores que podría tomar la función se conoce como contradominio, mientras que el conjunto imagen consta únicamente de los valores que realmente toma.

Por ejemplo, la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tiene por contradominio el conjunto de todos los números reales, pero como nunca toma realmente valores negativos, el conjunto imagen está formado únicamente por los números reales no negativos.

En general, el conjunto imagen siempre es un subconjunto del codominio, y cuando éstos coinciden, se dice que la función es suprayectiva

A continuación, vídeos con ejercicios resueltos:

DOMINIO Y CONTRADOMINIO

El dominio de una función se define como el conjunto de todos los elementos de "x" para los cuales se encuentra definida la función. Por ejemplo, sea f(x)= 1/x, el dominio de la función son todos los números reales, excepto el cero, ya que 1/0 no existe.

Ahora, el rango, contradominio, imagen o codominio de una función, son todos los elementos a los cuales te manda la función cuando aplicas la regla de correspondencia. Por ejemplo, sea f(x)= x², el dominio son todos los #s reales, y el contradominio de f(x), son todos los reales positivos incluyendo al cero, porque para cualquier número "x", positivo o negativo, al elevarlo al cuadrado, siempre resultará un número positivo.

A continuación, ponemos algunos vídeos tutoriales con ejercicos sobre el tema:

viernes, 5 de abril de 2013

RELACIÓNES.

El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.
Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B. Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación: propiedad reflexiva, simétrica y transitiva.
(Una relación entre 2 conjuntos, es un conjunto de pares ordenados formados por un elemento del primer conjunto, llamado salida y un elemento del segundo conjunto, llamado llegada.)
Conjunto:
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.
Producto cartesiano:
El producto cartesiano es un producto directo de conjuntos. En particular, el producto cartesiano de dos conjuntos X y Y, denotado por X × Y, es el conjunto de todos los pares ordenados en los que el primer componente pertenece a X y el segundo a Y.

EJEMPLOS

$\displaystyle \mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,11,12,13,14,15,\dots\}$

$\displaystyle \mathbb{N}\times\mathbb{N}=\ensuremath{\{\,{(a,b)}\mid {a,b\in\mathbb{N}}\,\}},$

$\displaystyle [(1,2)]=\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(5,10),(6,12),(7,14),(8,16)\dots\}.$

$\displaystyle X=\ensuremath{\{\,{(a,b)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}\mid {b\neq0}\,\}}.$

$\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}=\frac{6}{12}=\frac{7}{14}=\frac{8}{16}=\cdots$

$\displaystyle =\{(2,0),(3,1),(4,2),(5,3),(6,4),(7,5),(8,6),(9,7)\dots\},$

$\displaystyle =\{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8)\dots\}.$

$\displaystyle \mathbb{Z}_{}=\{\dots,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\dots\}$
$X=\ensuremath{\{\,{(a,b)\in\mathbb{Z}_{}\times\mathbb{Z}_{}}\mid {b\neq0}\,\}}$

$\displaystyle =\{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7)\dots\},$

FUNCIONES.

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
Ver: Relaciones y funciones
En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:
                          1 --------> 1
                          2 --------> 4
                          3 --------> 9
                          4 --------> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
                           1 --------> 1
                          2 --------> 4
                          3 --------> 9
                          4 --------> 16
                           x -------->   x².
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:
                                           x --------> x²      o     f(x) = x² .
Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 3² = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a², etc.
Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.
Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Conjunto X	Conjunto Y
Ángela	55
Pedro	88
Manuel	62
Adrián	88
Roberto	90

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.
Ejemplo 2
Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".
x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

Conjunto X	Conjunto Y	Desarrollo
− 2	− 1	f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
− 1	1	f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1
0	3	f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3
1	5	f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5
2	7	f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
3	9	f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9
4	11	f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.
Ahora podemos enunciar una definición más formal:
Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).
Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X.
Usualmente X e Y son conjuntos de números.
Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota
         f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B    f : X -----> Y) o f(x) = x
Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada.
f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x).
En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5.
El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.
Ejemplo 3
Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".
Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y recorrido.
Veamos:
A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).
Dominio = {1, 2, 3}                 Recorrido = {4, 8, 12}
Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}
Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:
Si tenemos los conjuntos
A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}
Podemos establecer las relaciones
f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }
g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }
h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:
Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).
Ejemplo 4
Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9},       Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada".
Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.
Veamos:
A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y (

), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.
Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Más ejemplos: