DIVISIÓN SINTÉTICA

DIVISIÓN SINTETICA

La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división.
Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo:

Comenzamos dividiéndolo normalmente

Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos . al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda:

Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, así:

Como para este tipo de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 – c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, también se puede lograr una forma más compacta al mover los números hacia arriba, nos queda de la siguiente forma:

Si ahora insertamos a la primera posición del último renglón al primer coeficiente del residuo (2), tenemos que los primeros números de este renglón son los mismos coeficientes del cociente y el último número es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.

Esta última forma se llama división sintética, pero ¿como hacerla sin tanto paso?, ahora les presentamos los pasos para llevar a cavo la división sintética:

1. Se ordenan los coeficientes de los términos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta

2. Después escribimos “c” en la parte derecha del renglón

3. Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón.

4. Multiplicamos este coeficiente por “c” para obtener el primer numero del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada).

5. Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo número de el tercer renglón.

6. Con este último número repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo.

Ejemplos:

Donde -108 es el residuo

Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coheficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coheficientes nesesarios para todos los exponentes.
Para generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo. Para el uso de este método puede ser positivo o negativo.

TEOREMA DEL FACTOR Y DEL RESIDUO

Teorema del residuo

Si se divide la función polinomial ƒ(x) entre el binomio x - a donde a es un número real, el residuo es igual a ƒ(a).

El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre x - a. Un ejemplo de esto se ilustra en la parte de arriba. Se recomienda que el lector realice otras comprobaciones. Una conclusión muy importante del teorema del residuo es se puede evaluar numéricamente una función polinomial usando la división sintética.

A partir de lo anterior, si ƒ(a) = 0, entonces x - a es un factor del polinomio porque el residuo es cero. Cuando se encuentra un valor de x para el cual ƒ(x) = 0 se ha encontrado una raiz del polinomio, en el supuesto anterior, a es una raiz del polinomio.
El Teorema del Residuo (en álgebra) se emplea para conocer el resíduo que se obtiene al dividir un polinomio por un binomio de la forma x-a (siendo "a" un valor numérico conocido) sin necesidad de efectuar la división.

Para ello basta sustituir el valor de a en el polinomio haciendo x=a

Ejemplo:

x³ + 2x² - 3x + 5 entre x - 2

En este caso, a=2 y por lo tanto sustituimos "a" en el polinomio:

(2)³ + 2(2)² - 3(2) + 5 = 8 + 8 - 6 + 5 = 15

El residuo es entonces 15.

Teorema del factor

Si a es una raiz de ƒ(x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde a es un número real.

Aqui podemos observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si éste es igual a cero, nos va a indicar que hemos encontrado un factor del polinomio y con él, una raiz del polinomio (una solución a la ecuación polinomial ƒ(x) = 0).

Ejercicio

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1.-(x³ − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)

(x³ − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.

P(3) = 3³ − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

(x − 3) no es un factor.

2.-(x⁶ − 1) tiene por factor (x + 1)

(x⁶ − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.

P(−1) = (−1)⁶ − 1 = 0

(x + 1) es un factor.

3.-(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) tiene por factor (x − 1)

(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) es divisible por (x − 1 ) si y sólo si P(x = 1) = 0.

P(1) = 1⁴ − 2 · 1³ + 1 ² + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0

(x − 1) es un factor.

4.-(x¹⁰ − 1024) tiene por factor (x + 2)

(x¹⁰ − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = − 2) = 0.

P(−2) = (−2)¹⁰ − 1024 = 1024 − 1024 = 0

(x + 2) es un factor. 

CEROS Y RAÍCES DE LA FUNCIÓN

Raíz
	Donde una función vale cero. En este Ejemplo, -2 y 2 son las raíces de la función x2 - 4 Pero algunas veces "raíz" es usada como una manera rápida de decir "raíz cuadrada".

Cero (de una función)
	Donde una función toma el valor cero (0). En este ejemplo -2 y 2 son los ceros de la función x2 - 4 También llamado "raíz".

FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS: 3 Y 4

Son las de la forma y = ax³ + bx² + cx + d , siendo a , b , c y d números reales.

Todas estas funciones tienen dominio y recorrido  R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 ó 3 puntos y al eje de ordenadas siempre en el punto (0,d)

Las gráficas de estas funciones cúbicas son de cuatro tipos exclusivamente, que distinguiremos por los extremos y los puntos de inflexión : 

- Sin extremos, el punto de inflexión separa la región cóncava de la convexa o la convexa de la cóncava. Aparecerán ejemplos en los casos 1, 2 y 4

- Con dos extremos, un máximo y un mínimo, el punto de inflexión separa la región convexa de la cóncava o un mínimo y un máximo, separando el punto de inflexión la región cóncava de la convexa.

La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma:

donde el coeficiente a es distinto de 0.
Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales.

Gráfico de una función cúbica del tipo  y = K(x+4)·(x+1)·(x-2). Las raíces son los lugares donde la curva cruza el eje x (y = 0), esto es: 

x1 = -4, x2 = -1 y x3=2

FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO 4

FORMA POLINOMINAL Y GRAFICACIÓN DE GRADOS: 0, 1 Y 2

La función afín: FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 1 que tiene en su variable equis el exponente uno.
La forma de esta función de grado uno es la ecuación de la línea recta, que tiene su gráfica como aparece  de forma oblicua.
y = m x + b

La función cuadrática:
FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 2
Se denomina función cuadrática a toda función de la forma:
Y = ax²+ bx+ c que representa a una expresión cuadrática, donde a (distinto de 0), b y c son números reales.
Su gráfica es una parábola.

MODELO GENERAL DE LAS FUNCIONES POLINOMINALES

Definición

Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya regla esta dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia mas alta que aparece de x.

Definición Si una función f está definida por 
f(x) = anXn + an1 − 1Xn − 1 + an − 2Xn − 2 + ... + a1 + a0 donde a0,a1,...,an son números reales 
y n es un entero no negativo. 
Entonces, f se llama una Función Polinomial de grado n. 

Ejemplo 1

f(x) = 3x⁵ − x² + 7x − 1 es una función polinomial de grado 5.

FUNCIÓN CONSTANTE

En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente. Se la representa de la forma

donde c es la constante.

La función constante es del tipo:

y = n

El criterio viene dado por un número real.

La pendiente es 0.

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Rectas verticales

Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del tipo:

x = K